■(a^2+b^2-1)/abの整除性(その5)

 a=F2k-1,b=F2k+1,d=L2k,c=abd

 (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)

=(a+b+abd)(bd+ad+1)/abd

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【1】フィボナッチ数とリュカ数

 an=an-1+an-2という漸化式で生成される数列の特性方程式

  x^2-x-1=0

の2根を

  α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2

とおくと,フィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

の一般項は,

  Fn =1/√5(α^n+1-β^n+1)   (n:0~)

 リュカ数列

  2,1,3,4,7,11,・・・

の一般項は

  Ln=α^n+β^n   (n:0~)

で表されます.

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【2】カッシーニの等式

  α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2

とおくと,フィボナッチ数

  fn=1/√5{α^n+1-β^n+1}

とリュカ数

  Ln=α^n+β^n

に対して,関係式(カッシーニの等式)

  Fn+1Fn-1-Fn^2=-(-1)^n

  Ln+1Ln-1-Ln^2=5(-1)^n+1

が示されます.

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【3】ナイトの問題

  a=f2k-1=1/√5・{α^2k-β^2k}=1/√5・{α^k-β^k}{α^k+β^k}

  b=f2k+1=1/√5・{α^2k+2-β^2k+2}

=1/√5・{{α^2k-β^2k}{α^2+β^2}+α^2β^2k-α^2kβ^2}

ここで

  α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2,αβ=-1

  α^2+β^2=(6+2√5)/4,β^2=(6-2√5)/4

  α^2+β^2=3

より

  b=f2k+1=1/√5・{α^2k+2-β^2k+2}

=1/√5・{3{α^2k-β^2k}+α^2β^2k-α^2kβ^2}

  L2k=α^2k+β^2k

  F2k+1F2k-1-F2k^2=-(-1)^2k=-1

  F2k+1F2k-1=F2k^2-1=1/5・{α^2k+1-β^2k+1}^2-1

=1/5・{α^4k+2+β^4k+2-2(αβ)^2k+1}-1

ここで

  α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2,αβ=-1

より

=1/5・{α^4k+2+β^4k+2+2-5}

  c=F2k-1L2kF2k+1={α^4k+2+β^4k+2-3}{α^2k+β^2k}/5

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a+b+c=1/√5・{α^2k-β^2k+α^2k+2-β^2k+2}+{α^4k+2+β^4k+2-3}{α^2k+β^2k}/5

1/a+1/b+1/c=√5・{α^2k+β^2k}/{α^4k-β^4k}+√5・{α^2k+2+β^2k}/{α^4k+4-β^4k+4}+5/{α^4k+2+β^4k+2-3}{α^2k+β^2k}

 なかなか簡単な形にならない.

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