a=F2k-1,b=F2k+1,d=L2k,c=abd
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=(a+b+abd)(bd+ad+1)/abd
===================================
【1】フィボナッチ数とリュカ数
an=an-1+an-2という漸化式で生成される数列の特性方程式
x^2-x-1=0
の2根を
α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2
とおくと,フィボナッチ数列
1,1,2,3,5,8,・・・
の一般項は,
Fn =1/√5(α^n+1-β^n+1) (n:0~)
リュカ数列
2,1,3,4,7,11,・・・
の一般項は
Ln=α^n+β^n (n:0~)
で表されます.
===================================
【2】カッシーニの等式
α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2
とおくと,フィボナッチ数
fn=1/√5{α^n+1-β^n+1}
とリュカ数
Ln=α^n+β^n
に対して,関係式(カッシーニの等式)
Fn+1Fn-1-Fn^2=-(-1)^n
Ln+1Ln-1-Ln^2=5(-1)^n+1
が示されます.
===================================
【3】ナイトの問題
a=f2k-1=1/√5・{α^2k-β^2k}=1/√5・{α^k-β^k}{α^k+β^k}
b=f2k+1=1/√5・{α^2k+2-β^2k+2}
=1/√5・{{α^2k-β^2k}{α^2+β^2}+α^2β^2k-α^2kβ^2}
ここで
α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2,αβ=-1
α^2+β^2=(6+2√5)/4,β^2=(6-2√5)/4
α^2+β^2=3
より
b=f2k+1=1/√5・{α^2k+2-β^2k+2}
=1/√5・{3{α^2k-β^2k}+α^2β^2k-α^2kβ^2}
L2k=α^2k+β^2k
F2k+1F2k-1-F2k^2=-(-1)^2k=-1
F2k+1F2k-1=F2k^2-1=1/5・{α^2k+1-β^2k+1}^2-1
=1/5・{α^4k+2+β^4k+2-2(αβ)^2k+1}-1
ここで
α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2,αβ=-1
より
=1/5・{α^4k+2+β^4k+2+2-5}
c=F2k-1L2kF2k+1={α^4k+2+β^4k+2-3}{α^2k+β^2k}/5
===================================
a+b+c=1/√5・{α^2k-β^2k+α^2k+2-β^2k+2}+{α^4k+2+β^4k+2-3}{α^2k+β^2k}/5
1/a+1/b+1/c=√5・{α^2k+β^2k}/{α^4k-β^4k}+√5・{α^2k+2+β^2k}/{α^4k+4-β^4k+4}+5/{α^4k+2+β^4k+2-3}{α^2k+β^2k}
なかなか簡単な形にならない.
===================================