■(a^2+b^2−1)/abの整除性(その2)

[Q]a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=nの自然数解(a,b,c)を求めよ.

 有理数解,整数解ではなく,自然数解というところが難しさのキモになっているという.たとえば,奇数nに対する自然数解(a,b,c)は存在しない.偶数n,たとえばn=4に対する自然数解はとてつもなく大きな数になるという.

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 分母を払うと

a(c+a)(a+b)+b(a+b)(b+c)+c(b+c)(c+a)=n(b+c)(c+a)(a+b)

a^3+b^3+c^3+abc=(n−1)(b+c)(c+a)(a+b)

となって3次式が得られる.

 以下,受け売りであるが,ワイエルシュトラスの標準形

  y^2=x(x^2+Ax+B)

  A=4n(n+3)−3

  B=32(n+3)

 ここで楕円曲線の有理数を求める問題に帰着された.求めたい自然数解に対応する有理点はx≧0の範囲に存在する.

[注]ワイエルシュトラスの標準形は通常y^2=x^3+Ax+Bで表される.

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