■フェルマー数の整除性(その13)

  Fn=2^(2^n)+1

の形の素数をフェルマー素数といいます.F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537は素数であることがわかります.

 F5=2^(2^5)+1=2^32+1=4294967297=641×6700417

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 最後の桁が6である数の平方は,最後の桁が6になることは明らかであろう.

  (10k+6)^2=10(10k^2+12k)+36=10(10k^2+12k+3)+6

 最後の2桁について調べてみると,

 (100k+06)^2=100(100k^2+12k)+36

 (100k+16)^2=100(100k^2+32k+2)+56

 (100k+26)^2=100(100k^2+52k+6)+76

 (100k+36)^2=100(100k^2+72k+12)+96

 (100k+46)^2=100(100k^2+92k+21)+16

 (100k+56)^2=100(100k^2+112k+31)+36

 (100k+66)^2=100(100k^2+132k+43)+56

 (100k+76)^2=100(100k^2+152k+57)+76

 (100k+86)^2=100(100k^2+172k+73)+96

 (100k+96)^2=100(100k^2+192k+92)+16

より,

 F3  F4  F5  F6  F7

 56→36→96→16→56

と周期4で巡回するから,

 F71 F72  F73 F74 F75

 56→36→96→16→56

F73=2^(2^73)+1の最後の2桁は97であることがわかる.

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2003年、トーマス・コシーはフェルマー数の下2桁が17,37,57,97であることを証明した

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