■素数の逆数の周期

1/2=0.5

1/3=0.33333・・・(周期1)

1/5=0.2

1/7=0.142857・・・(周期6)

1/11=0.090909・・・(周期2)

1/13=0.076923・・・(周期6) 

1/17=0.0588235294117647・・・(周期16)

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さらに続けると

1/19=・・・ (周期18)

1/23=・・・ (周期22)

1/29=・・・ (周期28)

1/31=・・・ (周期15)

1/37=・・・ (周期3)

1/41=・・・ (周期5)

1/43=・・・ (周期21)

1/47=・・・ (周期46)

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pを2と5以外の素数とすると、周期は常にp-1の約数であることが推測できる。

1をpで割った余りをrとする。k桁後にふたたび余りrが出現したとすると、

  r・10^k=pd+r

これはpがr・10^k-r=r(10^k-1)の因数であることと同じ意味である。

したがって、1/pの小数展開の周期は(10^k-1)がpで割り切れる最小のkである。

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例えば1/7の周期は6である。

10^6-1=999999は7で割り切れるが

10^5-1=99999は7で割り切れない

10^4-1=9999は7で割り切れない

10^3-1=999は7で割り切れない

10^2-1=99は7で割り切れない

10^1-1=9は7で割り切れない

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