μ（ｎ）＝1　（ｎ＝1、ｎが偶数個の相異なる素数の積）

μ（ｎ）＝０　（ｎが平方数によって割り切れる）

μ（ｎ）＝-1　（ｎが奇数個の相異なる素数の積）

　μ（１）＝１，μ（２）＝-１，μ（３）＝-１，μ（４）＝０

　μ（５）＝-１，μ（６）＝１，μ（７）＝-１，μ（８）＝０

　μ（９）＝０，μ（１０）＝１，

メビウス関数を使って、P(n)=ｘ^n−１の因数分解

　　Pｎ(ｘ)=ｘ^n−１＝ΠΦｋ（ｘ）

を行ってみたい。ここで、

Φn(x)=Π(x^d-1)^μ(n/d)

で与えられる。

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　ｘ^n−１の因数分解が，ｎの約数ｄを使って次のように書かれることを考えます．

　　ｘ−１＝Φ1（ｘ）

　　ｘ^2−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）

　　ｘ^3−１＝Φ1（ｘ）Φ3（ｘ）

　　ｘ^4−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ4（ｘ）

　　ｘ^5−１＝Φ1（ｘ）Φ5（ｘ）

　　ｘ^6−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘ^18−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ18（ｘ）

　　ｘ^36−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ4（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ12（ｘ）Φ18（ｘ）Φ36（ｘ）

　すると，円分多項式は

　　Φ1（ｘ）＝ｘ−１

　　Φ2（ｘ）＝ｘ＋１

　　Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１

　　Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１

　　Φ7（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１ｘ−１

　　Φ8（ｘ）＝ｘ^4＋１

　　Φ9（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^3＋１

　　Φ12（ｘ）＝ｘ^4−ｘ^2＋１

　　Φ15（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^7＋ｘ^5−ｘ^4＋ｘ^3−ｘ＋１

　　Φ16（ｘ）＝ｘ^8＋１

　　Φ18（ｘ）＝ｘ^6−ｘ^3＋１

　　Φ24（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^4＋１

　　Φ36（ｘ）＝ｘ^12−ｘ^6＋１

と定まります．

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ｎ＝6の場合、

　　ｘ^6−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）

　　Φ1（ｘ）＝ｘ−１

　　Φ2（ｘ）＝（ｘ^2−１）/（ｘ−１）＝ｘ＋１

　　Φ3（ｘ）＝（ｘ^3−１）/（ｘ−１）＝ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ6（ｘ）＝（ｘ−１）（ｘ^6−１）/（ｘ^2−１）（ｘ^3−１）＝ｘ^2−ｘ＋１

ここでΦ1（ｘ）はすべてのPｎ(ｘ)の共通根であるｘ＝１

Φ2（ｘ）はP2(ｘ)の残りの根、すなわち原始根ｘ＝-１

Φ3（ｘ）はP3(ｘ)の残りの根、すなわち２つの原始根

Φ6（ｘ）はP6(ｘ)の残りの根、すなわち２つの原始根

をとり、複素平面上、互いの60度の角度をなす

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