■正多角形の作図法則(その22)

μ(n)=1 (n=1、nが偶数個の相異なる素数の積)

μ(n)=0 (nが平方数によって割り切れる)

μ(n)=-1 (nが奇数個の相異なる素数の積)

 μ(1)=1,μ(2)=-1,μ(3)=-1,μ(4)=0

 μ(5)=-1,μ(6)=1,μ(7)=-1,μ(8)=0

 μ(9)=0,μ(10)=1,

メビウス関数を使って、P(n)=x^n−1の因数分解

  Pn(x)=x^n−1=ΠΦk(x)

を行ってみたい。ここで、

Φn(x)=Π(x^d-1)^μ(n/d)

で与えられる。

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 x^n−1の因数分解が,nの約数dを使って次のように書かれることを考えます.

  x−1=Φ1(x)

  x^2−1=Φ1(x)Φ2(x)

  x^3−1=Φ1(x)Φ3(x)

  x^4−1=Φ1(x)Φ2(x)Φ4(x)

  x^5−1=Φ1(x)Φ5(x)

  x^6−1=Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ6(x)

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  x^18−1=Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ6(x)Φ9(x)Φ18(x)

  x^36−1=Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ4(x)Φ6(x)Φ9(x)Φ12(x)Φ18(x)Φ36(x)

 すると,円分多項式は

  Φ1(x)=x−1

  Φ2(x)=x+1

  Φ3(x)=x^2+x+1

  Φ4(x)=x^2+1

  Φ5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1

  Φ6(x)=x^2−x+1

  Φ7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1x−1

  Φ8(x)=x^4+1

  Φ9(x)=x^6+x^3+1

  Φ12(x)=x^4−x^2+1

  Φ15(x)=x^8−x^7+x^5−x^4+x^3−x+1

  Φ16(x)=x^8+1

  Φ18(x)=x^6−x^3+1

  Φ24(x)=x^8−x^4+1

  Φ36(x)=x^12−x^6+1

と定まります.

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n=6の場合、

  x^6−1=Φ1(x)Φ2(x)Φ3(x)Φ6(x)

  Φ1(x)=x−1

  Φ2(x)=(x^2−1)/(x−1)=x+1

  Φ3(x)=(x^3−1)/(x−1)=x^2+x+1

  Φ6(x)=(x−1)(x^6−1)/(x^2−1)(x^3−1)=x^2−x+1

ここでΦ1(x)はすべてのPn(x)の共通根であるx=1

Φ2(x)はP2(x)の残りの根、すなわち原始根x=-1

Φ3(x)はP3(x)の残りの根、すなわち2つの原始根

Φ6(x)はP6(x)の残りの根、すなわち2つの原始根

をとり、複素平面上、互いの60度の角度をなす

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