ｔａｎ１°が無理数であることは加法定理を使って示すことができますが，ｓｉｎ１°が無理数であることの証明は格段と難しくなります．背理法を使って証明してみましょう．

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ｓｉｎ１°が有理数であると仮定する．３倍角の公式，

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

よりｓｉｎ３°は有理数．次に，５倍角の公式，

　　ｓｉｎ５θ＝１６ｓｉｎ^5−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ

よりｓｉｎ１５°は有理数．

　これは，

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は無理数

であることに矛盾する．

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　高校生ならば三角関数の加法定理を使って

　　ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（６０°−４５°）＝ｓｉｎ６０°ｃｏｓ４５°−ｃｏｓ６０°ｓｉｎ４５°＝（√６−√２）／４

　中学生でも１：√３：２（３０°，６０°，９０°）の直角三角形の長さ√３の辺を斜辺の長さ２だけ延長させた１：２＋√３：√６＋√２（１５°，７５°，９０°）の直角三角形に対して，ピタゴラスの定理を利用して

　　ｓｉｎ１５°＝（２＋√３）／（√６＋√２）＝（√６−√２）／４

を求めることができるだろう．

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