√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

　　√（１−√（１−√（１−√（１−・・・））））＝１／φ

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

は，それぞれ

　　√（１＋ｘ）＝ｘ　→　ｘ^2−ｘ−１＝０

　　√（１−ｘ）＝ｘ　→　ｘ^2＋ｘ−１＝０

　　√（２＋ｘ）＝ｘ　→　ｘ^2−ｘ−２＝０

として２次方程式の解より求めることができる．

　　√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））＝３

である．それでは，

［Ｑ］　　√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・））））＝？

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　　√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・））））

がひとつの実数を表すことは以下のようにして証明できる．

［証］

　　ａn＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・＋√１））））　　　（１がｎ個）

　　ｂn＝√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・＋√ｎ））））

とおく．

　数列｛ａn｝はφに収束する．

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

数列｛ｂn｝は単調増加．

　また，

　　ａn＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・＋√１））））　　　（１が

の両辺の√２をかけると

　　√２ａn＝√（２＋√（４＋√（１６＋・・＋√２^(2^n-1)））））

　　ｋ＜２^2^(k-1)

より，ｂn＜√２ａn

　単調増加数列｛ｂn｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

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