■入れ子の平方根の無限和(その9)

  √(1+√(1+√(1+√(1+・・・))))=φ  (黄金比)

  √(1−√(1−√(1−√(1−・・・))))=1/φ

  √(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2

は,それぞれ

  √(1+x)=x → x^2−x−1=0

  √(1−x)=x → x^2+x−1=0

  √(2+x)=x → x^2−x−2=0

として2次方程式の解より求めることができる.

  √(1+2√(1+3√(1+4√(1+・・・))))=3

である.それでは,

[Q]  √(1+√(2+√(3+√(4+・・・))))=?

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  √(1+√(2+√(3+√(4+・・・))))

がひとつの実数を表すことは以下のようにして証明できる.

[証]

  an=√(1+√(1+√(1+√(1+・・・+√1))))   (1がn個)

  bn=√(1+√(2+√(3+√(4+・・・+√n))))

とおく.

 数列{an}はφに収束する.

  √(1+√(1+√(1+√(1+・・・))))=φ  (黄金比)

数列{bn}は単調増加.

 また,

  an=√(1+√(1+√(1+√(1+・・+√1))))   (1が

の両辺の√2をかけると

  √2an=√(2+√(4+√(16+・・+√2^(2^n-1)))))

  k<2^2^(k-1)

より,bn<√2an

 単調増加数列{bn}は有界でn→∞のとき収束することがわかります.

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