√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

は，それぞれ

　　√（１＋ｘ）＝ｘ　→　ｘ^2−ｘ−１＝０

　　√（２＋ｘ）＝ｘ　→　ｘ^2−ｘ−２＝０

として２次方程式の解より求めることができる．

　また，（その１）で示したように

　　√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））＝３

である．それでは，

［Ｑ］　　√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・））））＝？

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　　√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・））））

がひとつの実数を表すことは以下のようにして証明できる．

［証］

　　ａn＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・＋√１））））　　　（１がｎ個）

　　ｂn＝√（１＋√（２＋√（３＋√（４＋・・・＋√ｎ））））

とおく．

　数列｛ｂn｝は単調増加．また，

　　ａn＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・＋√１））））　　　（１が

の両辺の√２をかけると

　　√２ａn＝√（２＋√（４＋√（１６＋・・＋√２^(2^n-1)））））＞ｂn

　しかし，その実数値を具体的に求めることができるかどうかはわからない．

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