［Ｑ］ｔａｎ１°は代数的数か？　超越数か？

［A］論法はいささか趣きが異なるが，数学的帰納法で証明する．

ｔａｎｔ°が整数係数の多項式ｆt（ｘ），ｇt（ｘ）を用いて，

　　ｔａｎｔ°＝ｇt（ｔａｎ１°）／ｆt（ｔａｎ１°）

と表せるものとする．

　　ｔａｎ（ｔ＋１）°

＝（ｔａｎ１°＋ｔａｎｔ°）／（１−ｔａｎ１°・ｔａｎｔ°）

＝（ｔａｎ１°＋ｇt（ｔａｎ１°）／ｆt（ｔａｎ１°））／（１−ｔａｎ１°・ｇt（ｔａｎ１°）／ｆt（ｔａｎ１°））

＝（ｔａｎ１°ｆt（ｔａｎ１°）＋ｇt（ｔａｎ１°））／（ｆt（ｔａｎ１°）−ｔａｎ１°ｇt（ｔａｎ１°））

　したがって，

　　ｆt+1（ｘ）＝ｆt（ｘ）−ｘｇt（ｘ）

　　ｇt+1（ｘ）＝ｘｆt（ｘ）＋ｇt（ｘ）

とおくことによって

　　ｔａｎ（ｔ＋１）°＝ｇt+1（ｔａｎ１°）／ｆt+1（ｔａｎ１°）

と表すことができる．

　数学的帰納法により

　　ｔａｎ４５°＝ｇ45（ｔａｎ１°）／ｆ45（ｔａｎ１°）＝１

であるから，ｔａｎ１°は整数係数の代数方程式

　　ｇ45（ｔａｎ１°）−ｆ45（ｔａｎ１°）＝０

の解となる．よって，ｔａｎ１°は代数的数である．

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　ｔａｎ３０°でもｔａｎ６０°でもいけない理由がおわかりいただけたであろうか．ｔａｎ４５°＝１の最小多項式は１次であるから，ｔ＝１のときはｆ1（ｘ）＝１，ｇ1（ｘ）＝ｘとすればよく，そうすれば

　　ｆt+1（ｘ）＝ｆt（ｘ）−ｘｇt（ｘ）

　　ｇt+1（ｘ）＝ｘｆt（ｘ）＋ｇt（ｘ）

よりｆ2（ｘ）は２次，ｇ2（ｘ）は１次，ｆ3（ｘ）は２次，ｇ3（ｘ）は３次となる．

　したがって，

　　ｇ45（ｘ）−ｆ45（ｘ）

の最小多項式は高々４５次，ｔａｎ１°は高々４５次の代数的数である．

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