■tan1°は超越数か?(その3)

【1】tan1°の無理数性

京都大学の入試問題(2006年)に

[Q]tan1°は有理数か? 無理数か?

という問題が出題されているそうである.

[A]背理法で証明する,正接の加法定理

  tan(x+y)=(tanx+tany)/(1−tanx・tany)

において,tanxとtanyの両者が有理数ならばtan(x+y)も有理数である.

 tan1°が有理数と仮定すると,tan2°も有理数である.tan2°が有理数と仮定すると,tan3°も有理数である.この操作を繰り返すとtan30°も有理数となるが,実際はtan30°=1/√3(無理数)であるから矛盾する.(もちろん,tan60°も有理数となるから矛盾であるとしてもよい.)

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