■分割数の合同式(その7)

整数の分割

n=△+△+△

n=□+□+□+□

などは多角数定理と呼ばれるものですが,

n=1+1+1+・・・+1

は,ただひとつの1を超える部分をもたない整数nの分割です.

ところで,「分割数」とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのかという整数の分割理論のことです.整数の分割では,3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします.たとえば,4を分割するには非増加数列で構成した5通りの方法,

4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1

がありますから,p(4)=5.同様に,

5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1

より,p(5)=7となります.

ここで,p(n)はオイラーの分割数と呼ばれます.

p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,  p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,・・・

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