四角数の逆数和

Σ１／ｎ^2 ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

はπ^2／６に収束する．

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多角数の逆数和は

［１］三角数：ｎ（ｎ＋１）／２→Σ２／ｎ（ｎ＋１）＝２

［２］四角数：ｎ^2→Σ１／ｎ^2＝π^2／６

［３］五角数：（３ｎ^2－ｎ）／２→Σ２／ｎ（３ｎ－１）＝３ｌｏｇ３－π／√３

Σ２／ｎ（３ｎ－１）　　（ｎ＝１～）

＝Σ２／（ｎ＋１）（３ｎ＋２）　　（ｎ＝０～）

＝６Σ１／（ｎ＋１）（ｎ＋２／３）　　（ｎ＝０～）

＝２Σ｛１／（ｎ＋２／３）－１／（ｎ＋１）｝　　（ｎ＝０～）

　　Σ｛１／（ｎ＋２／３）－１／（ｎ＋１）｝＝－π／２√３＋ｌｏｇ１２－２｛－１／２・ｌｏｇ１／２－１／２・ｌｏｇ√３／２｝

＝－π／２√３＋２ｌｏｇ２＋ｌｏｇ３－ｌｏｇ２＋（１／２・ｌｏｇ３－ｌｏｇ２）

＝－π／２√３＋３／２・ｌｏｇ３

　したがって，

　Σ２／ｎ（３ｎ－１）＝３ｌｏｇ３－π／√３

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［４］六角数：２ｎ^2－ｎ→Σ１／２ｎ（２ｎ－１）＝２ｌｏｇ２

［５］七角数：ｎ（５ｎ－３）／２→Σ２／ｎ（５ｎ－３）＝π／３・（１－２／√５）^1/2＋５／６・ｌｏｇ５－√５／３・ｌｏｇ（φ）

［６］八角数：ｎ（６ｎ－４）／２→Σ２／ｎ（６ｎ－４）π／４√３＋３／４・ｌｏｇ３

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