ｘ^3＋１^3＝１０^3＋ｙ^3となる数は他にはないのだろうか？

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［Ｑ］ｘ^3−ｙ^3＝９９９を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

［Ａ］ｘ^3−ｙ^3＝（ｘ−ｙ）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2）＝3＾3・37

［１］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝２７・３７，ｘ−ｙ＝１

［２］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^^2＝９・３７，ｘ−ｙ＝３

［３］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝３・３７，ｘ−ｙ＝９

［４］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝３７，ｘ−ｙ＝２７

［５］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝２７，ｘ−ｙ＝３７

［６］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝９，ｘ−ｙ＝３・３７

［７］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝３，ｘ−ｙ＝９・３７

［８］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝１，ｘ−ｙ＝２７・３７

　　ｘ−ｙ＝Ａ，ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

　　ｘ^2−ｘ（Ａ−ｘ）＋（Ａ−ｘ）^2＝Ｂ

　　３ｘ^2−３Ａｘ＋Ａ^2−Ｂ＝０

　　ｘ＝１／６・｛３Ａ±（１２Ｂ−３Ａ^2）^1/2｝

に代入すると

［２］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^^2＝９・３７，ｘ−ｙ＝３

［３］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝３・３７，ｘ−ｙ＝９

だけが１２Ｂ−３Ａ^2＞０となる.

これより（ｘ，ｙ）＝（１２，１），（１０，９）が得られる．

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