■超タクシー数(その11)

 累乗が登場する数として「タクシー数」がある.その由来は,数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき,タクシーナンバーが1729という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ,ラマヌジャンはそれは2つの3乗数で2通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である.

  1729=12^3+1^3=10^3+9^3

[1](7a^4−11ab^3)^3+(7b^4−2a^3b)^3

=(7b^4−11a^3b)^3+(7a^4−2ab^3)^3

[2](9n^4)^3+(9n^3+1)^3=(9n^4+3n)^3+1

 n=1のとき,9^3+10^3=12^3+1

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12^3+1^3=10^3+9^3

(12+1)(12^2-12・1+1^2)=(10+9)(10^2-10・9+9^2)

13・133=19・91

12^3-10^3=9^3-1^3

(12-10)(12^2+12・10+10^2)=(9-1)(9^2+9・1+1^2)

2・364=8・91

12^3-9^3=10^3-1^3

(12-9)(12^2+12・9+9^2)=(10-1)(10^2+10・1+1^2)

3・333=9・111

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立方数は

0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728

階差をとると

1,7,19,37,61,91,127,169,217,271,331,397

再び階差をとると

6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66(等差数列)

さらに階差をとると

6,6,6,6,6,6,6,6,6,6

となって、単純なパターンが現れる。

数列の各項を足し合わせていくと、ひとつ前の数列を再現することができる。

この方法はどんな多項式関数にも通用する。

足し算さえできればいいのであって、掛け算は必要なくなる。

これがバベッジの階差機関の原理である。

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