ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

　ｐ（２５ｎ＋２４）＝０　　（ｍｏｄ５^2）

　ｐ（１２５ｎ＋９９）＝０　　（ｍｏｄ５^3）

　ｐ（４９ｎ＋４７）＝０　　（ｍｏｄ７^2）

　ｐ（４９ｎ＋３３）＝０　　（ｍｏｄ７^2）

　ｐ（４９ｎ＋４０）＝０　　（ｍｏｄ７^2）

　ｐ（１２１ｎ＋１１６）＝０　　（ｍｏｄ１１^2）

　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

を予想し，それらを証明しています．

（証）φ(q)=Π(1-q^k)とおく．

　　Σp(5n+4)q^n=5{φ(q^5)}^5/{φ(q)}^6

の右辺の展開を考えると合同式が証明される．

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ラマヌジャンは２５＝５^2，４９＝７^2，１２１＝１１^2であることに注目し

　δ＝５^a・７^b・１１^c，２４λ＝１　（ｍｏｄδ）のとき，

　　ｐ（ｍδ＋λ）＝０　（ｍｏｄδ）　

も予想しましたが，この予想は正しくない．反例を掲げる．

　　δ＝７^3，２４・２４３＝１　（ｍｏｄ７^3）であるが，７^3はｐ（２４３）を割り切らない．　　　　

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５や７や１１のような素数がなぜこのような合同式を生み出すかについては未だに謎とされています．分割数で成り立つ別の合同式としては，アトキンはｐ（１７３０３＋２３７）＝０　　ｍｏｄ１３

を証明し、２０００年に数学者ケン・オノが発見した

　　ｐ（５４^4×１３ｎ＋１１１２４７）＝０　　ｍｏｄ１３

があります．驚いたことに，彼は無限個の合同式があることも証明したのです．（あらゆる素数の法このような合同式があることを証明、その１年後に６で割り切れないすべての法に対して同様の合同式が存在することを証明した）

　その後，ウィーバーが発見した式は次のようなものです．

　　ｐ（１１８６４７４９ｎ＋５６０６２）＝０　　ｍｏｄ１３

　　ｐ（１４３７５ｎ＋３４７４）＝０　　ｍｏｄ２３

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