■超タクシー数(その5)

【2】キャブタクシー数

負の数も許容することにすると、3^3+4^3+5^3=6^3より

91=6^3-5^3=3^3+4^3

不定方程式a^3+b^3+c^3=d^3を満たす自然数解は無数に存在します.

 3^3+4^3+5^3=6^3

 1^3+6^3+8^3=9^3

など.

215=9^3-8^3=1^3+6^3は最小ではありません。

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以下では不定方程式a^3+b^3+c^3=d^3のパラメータ解について調べてみます.

【3】オイラー

 オイラーによれば不定方程式a^3+b^3+c^3=d^3の一般解は

a=−(x^2+3y^2)^2+(z^2+3w^2)(−xz+3yw+3xw+3yz),

b=(x^2+3y^2)^2+(z^2+3w^2)(xz−3yw+3xw+3yz),

c=(z^2+3w^2)^2−(x^2+3y^2)(−xz+3yw+3xw+3yz),

d=(z^2+3w^2)^2+(x^2+3y^2)(xz−3yw+3xw+3yz)

 これより,

  3^3 +4^3+5^3=6^3,

  1^3+6^3+8^3=9^3,

  7^3+14^3+17^3=20^3

などが求められます.

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【4】ラマヌジャン

 一方,ラマヌジャンはa^3+b^3+c^3=d^3の解を二つの文字m,nの恒等式

a=3m^2+5mn−5n^2 ,

b=4m^2−4mn+6n^2 ,

c=5m^2−5mn−3n^2 ,

d=6m^2−4mn+4n^2

として与えています.

 3^3 +4^3+5^3=6^3

を意識したものと思われますが,

 3^2+4^2=5^2

 3^3+4^3+5^3=6^3

の類似は偶然なのでしょうか?

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【5】1パラメータ恒等式

  n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3=(3n^3+3n^2+2n+1)^3

3^3+4^3+5^3=6^3

1^3+6^3+8^3=9^3

3^3+10^3+18^3=19^3

4^3+17^3+22^3=25^3

7^3+14^3+17^3=20^3

2^3+17^3+40^3=41^3

8^3+36^3+37^3=46^3

27^3+31^3+37^3=40^3

3^3+32^3+33^3=41^3

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