【２】キャブタクシー数

負の数も許容することにすると、３^3＋４^3＋５^3＝６^3より

９１＝６^3-５^3＝３^3＋４^3

不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3を満たす自然数解は無数に存在します．

　３^3＋４^3＋５^3＝６^3

　１^3＋６^3＋８^3＝９^3

など．

２１５＝９^3-８^3＝１^3＋６^3は最小ではありません。

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以下では不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3のパラメータ解について調べてみます．

【３】オイラー

　オイラーによれば不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の一般解は

ａ＝−（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（−ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｂ＝（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ−３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｃ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2−（ｘ^2＋３ｙ^2）（−ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｄ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2＋（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ−３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ）

　これより，

　　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3，

　　１^3＋６^3＋８^3＝９^3，

　　７^3＋１４^3＋１７^3＝２０^3

などが求められます．

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【４】ラマヌジャン

　一方，ラマヌジャンはａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の解を二つの文字ｍ，ｎの恒等式

ａ＝３ｍ^2＋５ｍｎ−５ｎ^2 ，

ｂ＝４ｍ^2−４ｍｎ＋６ｎ^2 ，

ｃ＝５ｍ^2−５ｍｎ−３ｎ^2 ，

ｄ＝６ｍ^2−４ｍｎ＋４ｎ^2

として与えています．

　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3

を意識したものと思われますが，

　３^2＋４^2＝５^2

　３^3＋４^3＋５^3＝６^3

の類似は偶然なのでしょうか？

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【５】１パラメータ恒等式

　　ｎ^3＋（３ｎ^2＋２ｎ＋１）^3＋（３ｎ^3＋３ｎ^2＋２ｎ）^3＝（３ｎ^3＋３ｎ^2＋２ｎ＋１）^3

３^3＋４^3＋５^3＝６^3

１^3＋６^3＋８^3＝９^3

３^3＋１０^3＋１８^3＝１９^3

４^3＋１７^3＋２２^3＝２５^3

７^3＋１４^3＋１７^3＝２０^3

２^3＋１７^3＋４０^3＝４１^3

８^3＋３６^3＋３７^3＝４６^3

２７^3＋３１^3＋３７^3＝４０^3

３^3＋３２^3＋３３^3＝４１^3

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