■フェルマー・シュタイナー点(その20)

 (十分に)縦長の正三角柱(1辺の長さa,高さh)の枠に,石けん膜を張る.中心に現れる交線の長さをxとする.

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 四面体の高さHは,H=(h−x)/2

 二等辺三角形の高さは,

  {(a√3/6)^2+H^2}^1/2

であるから,二等辺三角形6枚の面積は,

  3a{(a√3/6)^2+H^2}^1/2

 =3a{a^2/12+(h−x)^2/4}^1/2

 =a√3/2{a^2+3(h−x)^2}^1/2

 等脚台形3枚の面積は

  3/2・(x+h)・a√3/3

=a√3/2・(x+h)

  S=a√3/2・{(x+h)+{a^2+3(h−x)^2}^1/2}

  S’=0→1−3(h−x)/{a^2+3(h−x)^2}^1/2=0

  {a^2+3(h−x)^2}^1/2=3(h−x)

  a^2+3(h−x)^2=9(h−x)^2

  x=h−a/√6

 このとき,

  S=a√3/2・{(x+h)+3(h−x)}

=a√3/2・{4h−2h+2a/√6}

=ah√3+a^2/√2<(三角柱表面積3ah+a^2√3/2)

  [参]矢崎成俊「実験数学読本」日本評論社

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