■フェルマー・シュタイナー点(その13)

 オイラーの多面体定理を使うと

[1]2次元泡細胞の辺数の平均は≦6であり,すべての泡細胞が6辺以上の辺をもつことは不可能である

ことが証明される.

 (その1)では

(証)pを辺数の平均とする.qをひとつの頂点に集まる面数の平均とする.

  pF=2E

  qV=2E≧3V

  2E≧3V→E≦3(V−E)

 無限に広がる平面の多角形充填を考える問題であるが,個の問題はトーラス面上の多角形充填と同値であるから,

  V−E=F

 したがって,

  pF=2E≦6(V−E)=6F→p≦6

としたが・・・

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 オイラーの多面体定理

  V−E=F−2

を使うと

  pF=2E≦6(V−E)=6(F−2)

  p=6(F−2)/F→p≦6

となって,結果に変わりはない.

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