■一般化フィボナッチ数(その33)

φ=(1+√5)/2,−1/φ=(1−√5)/2

φ^2=(3+√5)/2,(−1/φ)^2=(3−√5)/2

φ^4=(3+√5)/2・(3+√5)/2

  =(14+6√5)/4=(7+3√5)/2

(−1/φ)^4=(3−√5)/2・(3−√5)/2

  =(14−6√5)/4=(7−3√5)/2

===================================

【2】類フィボナッチ数列

  an+1=7an−an-1

 α=φ^4,β=(−1/φ)^4を2次方程式x^2−7x+1=0の根(7±3√5)/2として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

α=(7+3√5)/2,β=(7−3√5)/2,初期値をa1=3,a2=21とすると

(a2−βa1)=21−3(7−3√5)/2=3α

(a2−αa1)=21−3(7+3√5)/2=3β

α−β=3√5

より

  an=1/√5{{(7+3√5)/2}^n−{(7−3√5)/2}^n}

  an=1/√5{{(1+√5)/2}^4n−{(1−√5)/2}^4n}=F4n

===================================