φ＝（１＋√５）／２，−１／φ＝（１−√５）／２

φ^2＝（３＋√５）／２，（−１／φ）^2＝（３−√５）／２

φ^3＝（３＋√５）／２・（１＋√５）／２

　　＝（８＋４√５）／４＝２＋√５

（−１／φ）^3＝（３−√５）／２・（１−√５）／２

　　＝（８−４√５）／４＝２−√５

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【２】類フィボナッチ数列

　　ａn+1＝４ａn＋ａn-1

　α＝φ^3，β＝（−１／β）^3を２次方程式ｘ^2−４ｘ−１＝０の根（４±２√５）／２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝２＋√５，β＝２−√５，初期値をａ1＝２，ａ2＝８とすると

（ａ2−βａ1）＝８−２（２−√５）＝２α

（ａ2−αａ1）＝８−２（２＋√５）＝２β

α−β＝２√５

より

　　ａn＝１／√５｛｛（２＋√５）｝^n−｛（２−√５）｝^n｝

　　ａn＝１／√５｛｛（１＋√５）／２｝^3n−｛（１−√５）／２｝^3n｝＝Ｆ3n

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