初項１，第２項１から始まるフィボナッチ数列｛Ｆn｝は

　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，・・・

　ここでは，数列｛Ｆ2n｝

　　１，３，８，２１，・・・

を考える．

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【１】フィボナッチ数列

　　ａn+1＝ａn＋ａn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−ｘ−１＝０の根（１±√５）／２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２，初期値をａ1＝１，ａ2＝１とすると

（ａ2−βａ1）＝１−（１−√５）／２＝α

（ａ2−αａ1）＝１−（１＋√５）／２＝β

α−β＝√５

より

　　ａn＝１／√５｛｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n｝＝Ｆn

　　ａn＝１／√５｛α^n−β^n｝＝Ｆn

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【２】類フィボナッチ数列

　　ａn+1＝３ａn−ａn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−３ｘ＋１＝０の根（３±√５）／２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝（３＋√５）／２，β＝（３−√５）／２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると

（ａ2−βａ1）＝３−（３−√５）／２＝α

（ａ2−αａ1）＝３−（３＋√５）／２＝β

α−β＝√５

より

　　ａn＝１／√５｛｛（３＋√５）／２｝^n−｛（３−√５）／２｝^n｝

　　ａn＝１／√５｛｛（１＋√５）／２｝^2n−｛（１−√５）／２｝^2n｝＝Ｆ2n

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