■一般化フィボナッチ数(その27)

 初項1,第2項1から始まるフィボナッチ数列{Fn}は

  1,1,2,3,5,8,13,21,・・・

 ここでは,数列{F2n}

  1,3,8,21,・・・

を考える.

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【1】フィボナッチ数列

  an+1=an+an-1

 α,βを2次方程式x^2−x−1=0の根(1±√5)/2として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2,初期値をa1=1,a2=1とすると

(a2−βa1)=1−(1−√5)/2=α

(a2−αa1)=1−(1+√5)/2=β

α−β=√5

より

  an=1/√5{{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n}=Fn

  an=1/√5{α^n−β^n}=Fn

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【2】類フィボナッチ数列

  an+1=3an−an-1

 α,βを2次方程式x^2−3x+1=0の根(3±√5)/2として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

α=(3+√5)/2,β=(3−√5)/2,初期値をa1=1,a2=3とすると

(a2−βa1)=3−(3−√5)/2=α

(a2−αa1)=3−(3+√5)/2=β

α−β=√5

より

  an=1/√5{{(3+√5)/2}^n−{(3−√5)/2}^n}

  an=1/√5{{(1+√5)/2}^2n−{(1−√5)/2}^2n}=F2n

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