■一般化フィボナッチ数(その17)

【1】2重指数型公式

 ここでは,

  gn+1=(gn)^2−2,g0=4

を考えるが,この場合,

  ω1=2+√3,ω2=2−√3

となって,2重指数型公式

  gn=ω1^(2^n)+ω2^(2^n)

が得られる.

 帰納法により

[1]n=0,g0=ω1+ω2=4

[2]gn=ω1^(2^n)+ω2^(2^n)が正しいとすると,

 (gn)^2−2=(ω1^(2^n)+ω2^(2^n))^2−2

=ω1^(2^n+1)+ω2^(2^n+1)+2(ω1ω1)^(2^n)−2

=ω1^(2^n+1)+ω2^(2^n+1)=gn+1

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