間引いたリュカ数列{L2^n}、すなわち、

　　3,7,47,2207,4870847,・・・

に対しては、簡単な漸化式

　　{L2^n+1}={L2^n}^2-2

が成り立ち、p=4k+3であるメルセンヌ素数Mpの素数性判定において重要な役割を果たす。

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［Ｑ］ｘ0＝ｍ，ｍは２より大きい整数とする．このとき

　　　ｘn＝（ｘn-1）^2−２,

の一般項を求めよ．

［Ａ］α＋１／α＝ｍ，α＞１とすると，帰納法より

　　ｘn＝α^(2^n)＋α^-(2^n)

　これはｘn＝［α^(2^n)］と等価である．

　たとえば，ｍ＝３のとき，

　　α＋１／α＝３

　　α^2−３α＋１＝０，α＝（３＋√５）／２＝φ^2

　　ｘn＝［φ^(2^n+1)］

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