■一般化フィボナッチ数(その7)

F0=0,F1=1

 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,・・・

 Fn=1/√5・{τ^n-(-τ)^-n}

L0=2,L1=1

 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,・・・

 Ln={τ^n+(-τ)^-n}

G0=p,G1=q

 Gn=Gn-1+Gn-2

 Gn+1=pFn+qFn+1

T0=0,T1=0,T2=1

 Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-3

 α=1/3・{(19+3√33)^1/3+(19-3√33)^1/3+1}=1.839287・・・

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Σ(1,∞)Fi/(2^i)=2

Σ(1,∞)iFi/(2^i)=10

Σ(1,∞)1/Fi=4-τ

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Σ(1,∞)1/F(2^i)=(7-√5)/2・・・Millin級数

Σ(1,∞)τ/√5F(2^i)=1

√5φ^1=φ+2

φ^1/√5=(φ+2)/5=(5+√5)/10

2/(7-√5)=2(7+√5)/44 =(7+√5)/22 ・・・あわない

  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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Fn+1-τFn=(-1)^n/(Fn+1+τFn)

Gn=(G1-G0/τ)τ^n/√5+(G0τ-G1/τ)τ^-n/√5

τ=Π(1,∞){1+(-1)^i+1/(Fi+1)^2}

τ=1+Σ(2,∞)(-1)^i/FiFi-1

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