このシリーズをまとめておきたい．

［定理１］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積はｎに等しい．

が成り立つ．

　また，

［定理］単位円に内接する正多角形の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しいは

［定理２］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの平方和は２ｎに等しい．

と同値である．

　正５角形の作図可能性と正７角形の作図不可能性７角形は以下のようにしてと概ね示すことができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正五角形の作図可能性の証明

　辺の長さをｘ，対角線の長さをｙとすると（ｘ＜ｙ），

　　［定理１］→２ｘ^2＋２ｙ^2＝１０，ｘ^2＋ｙ^2＝５

　　［定理２］→ｘ^2ｙ^2＝５

　x^2、ｙ^2は２次方程式

　　Ｘ^2−５Ｘ＋５＝０

の２実根であるから，

　　ｘ^2＝（５−√５）／２，ｙ^2＝（５＋√５）／２

すなわち，（複）２次方程式の範囲内で（ｘ，ｙ）が求まる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】正七角形の作図不可能性の証明

　正７角形の場合，基本等式：ｘｙｚ＝√７，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝７

　トレミーの定理から（独立ではないが）

　　ｘ^2＋ｘｚ＝ｙ^2　→　ｘ^2＋√７／ｙ＝ｙ^2

　　ｘ^2＋ｙｚ＝ｚ^2

　　ｙ^2＋ｘｙ＝ｚ^2

　　ｘｙ＋ｘｚ＝ｙｚ　→　これから有名な等式：１／ｘ＝１／ｙ＋１／ｚがでる．

　最終的にｘ，ｙ，ｚは３次方程式に還元されることが予測される．ともかく２次方程式では解けそうもないが「解けない」ことを厳密に示すにもう一工夫いる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝