定理１の面白いところは，２次元図形だけでなくすべての次元で通用することである．すなわち，すべての次元において，単位球に内接する正多胞体のすべての辺と対角線の長さの平方和はｎ^2で与えられることになる．無理数でなく整数！　この美とエレガンス（気品）を鑑賞していただけたであろうか．

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【１】指数を大きくすると（偶数次）

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の平方和は２ｎに等しい

は任意の次元で成り立つ定理であるが，

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の４乗和は６ｎに等しい

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の６乗和は２０ｎに等しい

［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の８乗和は７０ｎに等しい

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

は正しい公式であるが，ｎ＞ｍであることが必要となる．したがって，６乗和公式，８乗和公式は正三角形に対しては成り立たない．８乗和公式は正方形に対しては成り立たない．

　　ｍ＝１　→　（２ｍ，ｍ）＝２

　　ｍ＝２　→　（２ｍ，ｍ）＝６

　　ｍ＝３　→　（２ｍ，ｍ）＝２０

　　ｍ＝４　→　（２ｍ，ｍ）＝７０

　　ｍ＝５　→　（２ｍ，ｍ）＝２５２

　　ｍ＝６　→　（２ｍ，ｍ）＝９２４

　　ｍ＝７　→　（２ｍ，ｍ）＝３４３２

　　ｍ＝８　→　（２ｍ，ｍ）＝１２８７０

と続く．

　また，

　　（Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^2m＋Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^2m）／２＝（２ｍ，ｍ）ｎ　　（ｎ＞ｍ／２）

が成り立つ．

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【２】指数を大きくすると（奇数次）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜＝２ｃｏｔ（π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^3＝６ｃｏｔ（π／２ｎ）−２ｃｏｔ（３π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^5＝２０ｃｏｔ（π／２ｎ）−１０ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋２ｃｏｔ（５π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^7＝７０ｃｏｔ（π／２ｎ）−４２ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋１４ｃｏｔ（５π／２ｎ）−２ｃｏｔ（７π／２ｎ）

　２，６，２０，７０は中央二項係数（２ｍ，ｍ）であり，偶数乗和

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

との類似がみられる．また，奇数乗和ではｎ＞ｍといった必要条件も不要である．

　また，不等式

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m-1＜Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

が成り立つ．

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