１辺の長さが１の正多角形を考える．正三角形は対角線をもたないが，正六角形には長さ√３と２の２種類の対角線がある．対角線の長さが１種類なのは正方形の√２と正五角形の（１＋√５）／２に限られる（もうひとつの正方形と正五角形の特殊性）．√２とφ＝（１＋√５）／２は１辺と対角線の長さの比である特別な値であって，それぞれ白銀比，黄金比と呼ばれている．

　ここでは，トレミーの定理

　　「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和＝対角線の積

　　　　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ」

を活用して，正５角形・正７角形の対角線の長さを求めてみたい．

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【１】正５角形の対角線

　１辺の長さが１の正５角形とその外接円を考える．四角形ＡＢＣＤにトレミーの定理を用いると，

　　１・１＋１・ｘ＝ｘ・ｘ

→ｘ＝（１＋√５）／２＝φ

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【２】正７角形の対角線

　１辺の長さがａの正７角形の２種類ある対角線の長さをｂ，ｃとする．このとき

　　１／ａ＝１／ｂ＋１／ｃ

が成り立つ．

（証）四角形ＡＢＣＥにトレミーの定理を用いると，

　　ａｂ＋ａｃ＝ｂｃ

　両辺をａｂｃで割ると

　　１／ａ＝１／ｂ＋１／ｃ

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