コラム「作図不可能な正７角形と作図可能な正５角形」では，

［定理１］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積はｎに等しい．

が成り立つ．

　また，

［定理］単位円に内接する正多角形の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しいは

［定理２］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの平方和は２ｎに等しい．

と同値である．

　定理２自体がピタゴラスの定理の拡張のようなものであるから，ピタゴラスの定理は知っているが三角法（座標幾何学）あるいは複素数（複素指数関数）は知らないものとして，この２つの定理を利用して正ｎ角形の作図問題にアプローチした．

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［１］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さをｘとすると

　　［定理１］ｘ^2＝３→ｘ＝√３．

［２］ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さをｘとすると，対角線の長さは２であるから，

　　［定理１］２ｘ^2＋２ｰ2→ｘ＝√２．

［３］ｎ＝５のときはそれほど簡単ではないが，辺の長さをｘ，対角線の長さをｙとすると，

　　［定理１］→ｘ^2ｙ^2＝５

　　［定理２］→２ｘ^2＋２ｙ^2＝１０

より，２次方程式の範囲内で（ｘ，ｙ）が求まる．

［４］ｎ＝６のとき，辺の長さｘと対角線の長さｙと２として，

　　［定理１］→２ｘ^2ｙ^2＝６

　　［定理２］→２ｘ^2＋２ｙ^2＋２^2＝１２

このままでも（ｘ，ｙ）は求まるが，ピタゴラスの定理を利用するとｘ^2＋ｙ^2＝２^2．

［５］ｎ＝７のとき，辺の長さｘと対角線の長さｙとｚとして，

　　［定理１］→ｘ^2ｙ^2ｚ^2＝７

　　［定理２］→２ｘ^2＋２ｙ^2＋２ｚ^2＝１４

条件が足りないことがわかるだろう．また，２次方程式の範囲内で解けるかどうか，甚だ疑問である．

［６］ｎ＝８のとき，辺の長さｘと対角線の長さｙとｚと２として，

　　［定理１］→２ｘ^2ｙ^2ｚ^2＝８

　　［定理２］→２ｘ^2＋２ｙ^2＋２ｚ^2＋２^2＝１６

ピタゴラスの定理を利用すると

　　ｘ^2＋ｚ^2＝２^2，２ｙ^2＝２^2

より（ｘ，ｙ，ｚ）が求まる．

［６］ｎ＝９のとき，辺の長さｘと対角線の長さｙとｚとｗとして，

　　［定理１］→ｘ^2ｙ^2ｚ^2ｗ^2＝９

　　［定理２］→２ｘ^2＋２ｙ^2＋２ｚ^2＋２ｗ^2＝１６

条件が足りない．２次方程式の範囲内で解けるかどうかも疑問．

　このままではｎ＝１７の場合も条件が足りないということになるが，ともあれこのような単純素朴なことからも正５角形は作図可能であることがわかる．また，ガウスの証明ほど確定的でないにせよ，おぼろげながら正７角形，正９角形は作図不可能であることが示唆されたことになる．

　なお，定理２の面白いところは，２次元図形だけでなくすべての次元で通用することである（無理数でなく整数！　この美とエレガンス！）．それに対して，定理１は２次元だけで通用する．

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