１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつきました．正七角形の作図は不可能で，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．

　正７角形も正９角形も作図できないのに，まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが，このことを用いると，ｍ＝０のとき正３角形，ｍ＝１のとき正５角形，ｍ＝２のとき正１７角形となり，作図可能であることがわかります．当然，ずっと面倒になるでしょうが，正２５７角形（ｍ＝３），正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です．次に興味があるのは正４２９４９６７２９７角形（ｍ＝５）の場合ですが，あいにくこれは合成数です（フェルマーはこれが素数かどうかは示せなかった）．

　正ｎ角形の作図において，ｎは異なるフェルマー素数か２のベキ乗との積

　　ｎ＝２^kΠＦm

でなければなりません．したがって，

［１］ｎ＝２，３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６，１７，２０，２４，３０　→　作図可能

［２］ｎ＝７，９，１１，１３，１４，１８，１９，２１，２２，２３，２５　→　作図不可能

となって，幾何学的に解ける正奇数角形は，２^5−１＝３１通り，最大

　　３・５・１７・２５７・６５５３７＝４２９４９６７２９５

角形まであります．

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【１】フェルマー素数

　２2^m＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．フェルマー素数はガウスによって１世紀にわたる眠りから覚まされ，数論と幾何学に新たな美しさを吹き込んだことになります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｍ＝５のときは素数ではなく，現在，ｍ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．６番目のフェルマー素数の探索がコンピュータを使ってなされていますが，はたして本当に存在するのでしょうか．

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