【１】フェルマー乗積

　フェルマー数は簡単な漸化式Ｆn ＝（Ｆn-1 －１）^2＋１を満たしています．この式から

　　Ｆn －２＝Ｆn-1 （Ｆn-1 －２）＝・・・＝Ｆ0 Ｆ1 ・・・Ｆn-1

言い換えれば，Ｆn －２はそれより小さいすべてのフェルマー数で割り切れることがわかります．

　　３・５・１７・２５７

＝Ｆ0 Ｆ1 Ｆ2Ｆ3＝Ｆ4－２＝６５５３５

＝Ｆ3（Ｆ3－２）＝（Ｆ3－１）^2－１

　もし，Ｆ4＝６５５３７を知っていれば，即座に６５５３５と答えられるというわけです．

　　３・５・１７・２５７・６５５３７

＝Ｆ0 Ｆ1 Ｆ2Ｆ3Ｆ4＝Ｆ5－２＝４２９４９６７２９５

＝Ｆ4（Ｆ4－２）＝（Ｆ4－１）^2－１

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【２】フェルマー乗積の証明

　　Ｆn －２＝Ｆn-1 （Ｆn-1 －２）＝・・・＝Ｆ0 Ｆ1 ・・・Ｆn-1

（証）Ｆn －２＝２^(2^n)－１

＝（２^(2^n-1)－１）（２^(2^n-1)＋１）

＝（２^(2^n-1)－１）Ｆn-1

＝（２^(2^n-2)－１）Ｆn-2Ｆn-1

＝ΠＦk

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【３】フェルマー数が互いに素であることの証明

　Ｆm，Ｆnは共通する素因数ｐをもつと仮定すると，

　　２＝Ｆn－ΠＦk

より，ｐ＝２である．

　しかし，フェルマー数は奇数であるから矛盾．

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