x^2-5の素因数は、2と5を除いて5k+1,5k+4型素数と一致することを相互法則を使って示したい。

つまり(5/p)=1となるｐがどのような素数であるかを決定したい。

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[1](1/p)=1

x^2-1=(x+1)(x-1)はすべての素数を素因数のもつ

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[2](-1/p)=(-1)^(p-1)/2

x^2+1の素因数は2と4n+1型素数のみであり、4n+1型素数はすべてx^2+1の素因数になる。

p=4n+1のとき(-1/p)=1

p=4n+3のとき(-1/p)=-1

これをまとめると[2]になる

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[3](2/p)=(-1)^(p^2-1)/8

x^2-2の素因数は8n+1型素数,8n+7型素数のみである。

p=8n+1のとき(2/p)=1

p=8n+3のとき(2/p)=-1

p=8n+5のとき(2/p)=-1

p=8n+7のとき(2/p)=1

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[4](ab/p)=(a/p)(b/p)

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[5]a-bがｐで割り切れるとき、(a/p)=(b/p)

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[6](q/p)(p/q)=(-1)^(p-1)/2・(q-1)/2

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(5/p)(p/5)=1

(5/p)=1となるｐを求めることは(p/5)=1となる素数を求めることと同値

p=5k,p=5k+1,p=5k+2,p=5k+3,p=5k+4に分けて検討する

p=5k→(p/5)=0

p=5k+1→(p/5)=(1/5)=1[1]

p=5k+2→(p/5)=(2/5)=-1[3]

p=5k+3→(p/5)=(3/5)

(3/5)(5/3)=1

(5/3)=(2/3)=-1[3]

(3/5)=-1

p=5k+4→(p/5)=(4/5)

(4/5)=(2/5)(2/5)=1[4]

したがってx^2-5の素因数は、2と5を除いて5k+1,5k+4型素数と一致する

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