■フェルマー数の整除性(その12)

(Q)F0=3,F1=5を除けば,フェルマー数Fnの末位の数は7であることを証明せよ.

(A)n≧2に関する数学的帰納法で

  2^(2^n)=6  (mod10)

を示せばよい.n=2のとき

  2^(2^2)=16=6  (mod10)

n=kのとき2^(2^k)=6  (mod10)であるとすれば,n=k+1のとき,

  2^(2^k+1)=36=6  (mod10)

を得る.

 なお,

  F1=5

  Fn=F0F1・・・Fn-1+2=(5の奇数倍)+2

を用いれば,Fnの末位は7になることがわかる.

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(Q)F73の最後の2桁は97である

(A)

 F3  F4  F5  F6  F7

 56→36→96→16→56

と周期4で巡回するから,

 F71 F72  F73 F74 F75

 56→36→96→16→56

F73=2^(2^73)+1の最後の2桁は97であることがわかる.

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(Q)F73の最後の3桁は897である

(A)

F3   F4   F5   F6   F7

 256→536→296→616→456→936→096→216→656→336→896→816→856→736→696→416→056→136→496→016→256

と周期20で巡回するから,

 F63  F64  F65  F66  F67

 256→536→296→616→456

 F68  F69  F70  F71  F72  F73

 936→096→216→656→336→897

F73=2^(2^73)+1の最後の3桁は897であることがわかる.

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