フェルマー数（２^(2^n)＋１）は簡単な漸化式

　　Ｆn＝（Ｆn-1−１）^2＋１

を満たしています．Ｆn-1^2はほぼＦnと等しくなるというわけです．

　また，この式から

　　Ｆn−２＝Ｆn-1（Ｆn-1−１）＝・・・＝Ｆ0Ｆ1・・・Ｆn-1

言い換えれば，Ｆn−２はそれより小さいすべてのフェルマー数で割り切れることがわかります．

　したがって，（Ｆn，Ｆi）＝１がすべてのｉ（０≦ｉ≦ｎ−１）にについて成り立ちます．このことは任意にｉ≠ｊをとったとき，（Ｆi，Ｆj）＝１と意味するのですが，このことから数列｛Ｆn｝を用いて，素数が無限にあることを示すことができます．

（証明）

　すべてのＦiの素因数を１つずつとりｐiと呼べばｐはすべて異なるから，素数は無限にあることがわかる．

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