FnはFmと互いの素である

→それまで現れた素数とは異なる素数を約数として含む

したがって、素数は無限に多く存在する（ゴールドバッハ）

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漸化式

（Fn+1)-1={(Fn)-1)}^2

または

（Fn+1)-2=Fn{(Fn)-2)}を満たしている。

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この式から

（Fn)-2=F0F1・・・Fn-1

が得られる。言い換えれば、（Fn)-2はそれより小さいすべてのフェルマー数で割り切れる。

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【３】フェルマー数が互いに素であることの証明

　Ｆm，Ｆnは共通する素因数ｐをもつと仮定すると，

　　２＝Ｆn−ΠＦk

より，ｐ＝２である．

　しかし，フェルマー数は奇数であるから矛盾．

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