フェルマーの小定理より，ｐを素数とすると，フェルマー商

　　（２^(p-1)−１）／ｐ

は整数になる．すなわち，ｐは常に２^(p-1)−１を割り切る．

　　２^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

　ところで，

［Ｑ］ｐ^2が２^(p-1)−１を割り切るような素数ｐはあるだろうか？

　　２^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

［Ａ］

　　２^1092−１は１０９３^2で割り切れる．

　　２^3510−１は３５１１^2で割り切れる．

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【１】ヴィーフェリッヒの定理（１９０９年）

　「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である」

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Wieferich判定基準

　すなわち，２^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものです．フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となりますが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがあり，そのときｐをヴィーフェリッヒ素数といます．

　ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られています．２つのヴィーフェリッヒ素数−１を２進数に変換すると

　　１０９２＝１０００１０００１００

　　３５１０＝１１０１１０１１０１１０

のように奇妙なパターンがみられるのだそうです．

　なお，１９１０年，ミリマノフは

　「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはミリマノフ素数であることが必要である」をつけ加えています．

　　（３^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

　すなわち，３^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものですが，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られています．また，５^(p-1)−１がｐ^2で割り切れるｐとしてはｐ＝１８８７４８１４６８０１が知られています．

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　ヴィーフェリッヒの定理により，ファルマーの最終定理の証明は驚くほど簡単になった．６・１０^9以下ではｐ＝１０９３，３５１１だけがこの判定基準を満たすからである．ｘｙｚがｐで割り切れない場合，この２つについてだけ調べればよいことになるからである．

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［補］クンマーの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，

　　Ｂk＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Cauchy-Genocci判定基準

　　０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０

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