フェルマーの小定理の逆は成り立たない．フェルマー商

　　（２^(p-1)−１）／ｐ

が整数になる（２^(p-1)−１がｐで割り切れる）のに，ｐが素数でない場合，ｐを擬素数という．

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素数でないフェルマー数(Fn=2^N+1,N=2^n)は2に対する擬素数になる。

2^N=-1 (mod Fn)

両辺を2^(N-n)乗すると

(2^N)^2^(N-n)=1 (mod Fn)

N^2^(N-n)=2^N=Fn-1より

2^(Fn-1)=1 (mod Fn)

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2016年、Boklan/Conwayにより、F4の先にフェルマー素数がある確率は10億分の1以下であることが証明されています。

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