フェルマーの小定理より

(a,p)=1→a^(p-1)=1 (mod p)

たとえば、

2^6=64=1 (mod 7)

3^10=59049=1 (mod 11)

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しかし、素数の中には

a^(p-1)=1 (mod p^2)

が成り立つものがあります。

例えば、3^10-1=59048=2^3・11^2・61

3^10=59049=1 (mod 11^2)

このような超フェルマー素数をaに対するヴィーフェリッヒ素数と呼びます。

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ヴィーフェリッヒ素数はフェルマー予想やカタラン予想の証明でも用いられました。

［Ｑ］ｐ^3が２^(p-1)−１を割り切るような素数ｐ(超ヴィーフェリッヒ素数）はあるだろうか？

　　２^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

　そのような性質を満たすｐをひとつ見つけるだけでよいので，易しい問題に思えるかもしれない．しかし，この問題はなお未解決である．

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　ａ≠２の場合の特異例として

　　６８^112−１＝０　　（ｍｏｄ　１１３^3）

がある．

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