Σ１/（ｍ^n-1）＝１

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調和級数

x=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+・・・

から初項1/2，公比1/2の等比級数

1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+・・・

を引くと

x-1=1/1+1/3+1/5+1/6+1/7+1/9+1/10+1/11+・・・

から初項1/3，公比1/3の等比級数

1/2=1/3+1/9+1/27+1/81+・・・

を引くと

x-1-1/2=1/1+1/5+1/6+1/7+1/10+1/11+1/12+・・・

から初項1/5，公比1/5の等比級数

1/4=1/5+1/25+1/125+1/625+・・・

を引くと

x-1-1/2-1/4=1/1+1/6+1/7+1/10+1/11+1/12+・・・

から初項1/6，公比1/6の等比級数

1/5=1/6+1/36+1/216+1/1296+1/7776+・・・

を引くと

x-1-1/2-1/4-1/5=1/1+1/7+1/10+1/11+1/12+・・・

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最終的に

x-1-1/2-1/4-1/5--1/6-1/7-1/10-1/11-+・・・=1

x-1=1+1/2+1/4+1/6+1/7+1/10+1/11+・・・＝x-Σ１/（ｍ^n-1）

Σ１/（ｍ^n-1）＝1

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ここまではゴールドバッハのアイデアでしたが、ここからオイラーは

Σ１/（（２ｍ）^n-1）＝1/3+1/7+1+1/+1/31+1/35+1/63+・・・＝log2

Σ１/（（２ｍ+1）^n-1）＝1/1-1/8-1/24+1/28-1/48-1/80+1/120-・・・＝π/4

Σ１/（（２ｍ+1）^n+1）＝1/1-1/8-1/24+1/28-1/48-1/80-1/120+・・・＝π/4

Σ１/（（２ｍ+1）^2-1）＝1/8+1/24+1/48-1/48+1/80+1/120+1/168+・・・＝1/4

Σ１/（（２ｍ+1）^(2n-1)+1）＝1/28-1/124+1/244+1/344+・・・＝π/4-3/4

Σ１/（（２ｍ+1）^(2n-1)-1）＝1/28-1/124+1/244+1/344-・・・＝π/4-3/4

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さらに

Σ１/（ｍ^2n-1）＝1/15+1/63+1/80+1/255+1/624+・・・＝7/4-π^2/6

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