■ソフィー・ジェルマン素数(その10)

【1】ソフィー・ジェルマンの定理

 「pがソフィー・ジェルマン素数ならば,x^p+y^p=z^pを満たすpの倍数でないx、y、zは存在しない」

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【2】メルセンヌ素数との不思議な関係

 pを4k+3型素数とする。pがソフィー・ジェルマン素数であるのは、2p+1がメルセンヌ数2^p-1を割り切るときであり、そのときに限る。

 11は素数であって,

  2・11+1=23

も素数であるから,ソフィー・ジェルマン素数である.

 2^11-1=2047=23・89で、23はその約数である

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pが素数のとき、メルセンヌ数2^p-1の約数はpで割って1余る数である。

たとえば、2^11-1の約数は11k+1の形

23,45,67,89,・・・の順の割っていけば、2^11-1=23・89となる。

(2^11-1)^1/2より小さいpk+1のすべての数で割り切れなければ、素数であることになる。

メルセンヌ数2^p-1は2p+1で割り切れる,ただし、pは4k+3でない、

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一方、ファルマー素数2^(2^n)+1のすべての約数はk・2^(n+2)+1の形dearu.

128・k+1=129,257,385,5143,641,・・・

実際、2^(2^5)+1=641・6700417

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