デカルトの円定理ではなく、三平方の定理を適用する。半径をr,接点をcで表す。c1c2=dとする。

(r1+r3)^2=(r1-r3)^2+x^2→4r1r3=x^2

(r2+r3)^2=(r2-r3)^2+(d-x)^2→4r2r3=(d-x)^2、

(r1+r2)^2=(r1-r2)^2+d^2→4r1r2=d^2

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x^2+(2x(d-x)+(d-x)^2=d^2

4r1r3+2(4r1r3)^1/2(4r2r3)^1/2+4r2r3=4r1r2

r3(r1+(4r1r2)^1/2+r2)=r1r2

r3(r1+d+r2)=r1r2

r3=r1r2/(r1+d+r2)

有理点が接点になることが分かる。

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次に任意の点p/qが半径1/2q^2のフォード円が数直線と接するときの接点であることを帰納法を用いて示すことによって、証明が完成する（省略）

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有理数p/qに対応するフォード円は、直径が1/q^2であって、数直線のp/qにおいて接する円である。

一方、分母が高々ｄの有理数からなる数列を位数ｄのファレイ数列といい、その各項は高さが1/d^2以上1/(d+1)^2未満の任意の水平線と交わるフォード円と対応している。

また、これよりディオファントス近似に関する定理

｜α-p/q｜＜1/2q^2を満たすものが無数に存在することも理解される

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