■曜星の問題(その9)

【2】デカルトの円定理

たがいに接する3個の円に接する第4の描くことができる。・・・

六斜術の公式をさらに変形すると,互いに外接する4個の円の半径の逆数の間の等式

  (1/a+1/b+1/c+1/d)^2=2(1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2)   (デカルトの円定理)

が得られます.あるいは,曲率(半径の逆数)をa,b,c,dとおくと,平面上の互いに接し合う4つの円の間に関係式

  2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2

が成り立つ(ひとつの円の内側に他の3円が内接しているときが負号をつける).

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[Q]互いに接する半径1の3つの円がある.こられに内側から接する第4の円,外側から接する第4の円の半径を求めよ.

[A]ピタゴラスの定理を使っても解ける問題を思われるが,ここではデカルトの円定理を用いてみたい.

 3つの円の半径は1,第4の円の半径をdとすると

  (3+1/d)^2=6+2/d^2 → 1/d=3±2√3

 内側から接する第4の円の半径は(正の方を採用して)

  d=1/(3+2√3)=(3−2√3)/3

 外側から接する第4の円の半径は(負の方を採用して)

  d=1/(2√3−3)=(2√3+3)/3

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