■曜星の問題(その5)

14個の接する円環で

1/r1+1/r8=1/r4+1/r11

が成り立つのだが、6球定理でも類似の公式が成り立つ

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【1】デカルトの4円定理

 3つの円のそれぞれが他の2つの円と接するように配置する.ここで第4の円を3円すべてと接するように配置させることができる.そのとき,

 [1]3円に囲まれた領域

 [2]3円を取り囲む領域

の2通りの配置が可能である.

 このとき,円の半径をri,曲率をci=1/riとすると,

  c1^2+c2^2+c3^2+c4^2=1/2(c1+c2+c3+c4)^2

が成り立つ.

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【2】ソディ・ゴセットのn+1球定理

 n次元空間では,互いに接するn+2個の球の間に

  c1^2+c2^2+c3^2+・・・+cn+2^2=1/n(c1+c2+c3+・・・+cn+2)^2

が成り立つ.

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【3】ソディの首飾り定理

 互いに接する2球S1,S2を取り囲む別の球S3あるとする.

 このとき,S1,S2,S3に接し,それそれが隣接する6球を環状に配置することができる.実際には,1球を決めると残りの5球は一意に定まる.6つの球の中心は同一平面上にあるから,シュタイナーの定理の3次元版になっている.

 このとき,

  c1+c4=c2+c5=c3+c6

が成り立つ.

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