ブラーマグプタの公式を証明しておきたい．

　四角形の４辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ｄ，内角をα，β，γ，δとする．ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと，四角形の面積は

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄ（１＋ｃｏｓ（β＋δ））／２

となる．

　この定理でｄ→０とすると，三角形のヘロンの公式

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

が得られる．

　また，四角形が円に内接するとき，β＋δ＝π，ｃｏｓ（β＋δ）＝−１より，面積は最大となり

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）

が成り立つ．

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【１】和算におけるヘロンの公式

　　［参］小寺裕「関孝和・算聖の数学思潮」現代数学社

によると，三角形の内接円を考えて，３つの頂点から内接円への接線の長さをｄ，ｅ，ｆとすると，

　　Ｓ＝（ｄｅｆ（ｄ＋ｅ＋ｆ））^1/2

というのが和算におけるヘロンの公式の標準形らしい．

　　ａ＝ｄ＋ｅ，ｂ＝ｅ＋ｆ，ｃ＝ｆ＋ｄ

であるから，

　　ｓ＝ｄ＋ｅ＋ｆ，

　　ｓ−ａ＝ｆ，ｓ−ｂ＝ｄ，ｓ−ｃ＝ｅ

となって，ヘロンの公式

　　Ｓ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，

と一致する．

　　Ｓ＝（ｄｅｆ（ｄ＋ｅ＋ｆ））^1/2

の方が美しく感じられるのは私だけではないだろう．

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