三角形の面積は，ヘロンの公式

　　Ｓ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２

で求めることができる．

　４辺の長さを与えてもその形は決まらないので，そのような公式は期待できないが，四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／２

が成り立つ．

［Ｑ］円に内接する五角形や六角形についても同様の公式はあるのだろうか？

［Ａ］存在しないことの証明が

　　［参］のんびり数学研究会「ガロアに出会う」数学書房

に掲載されている．

　（その１０）−（その１２）でその問題を取り上げたが，代数的な証明でなく，存在しないことのの直観的な理由がわかった．ｎ（≧５）角形で，ヘロンの公式が存在しないことの理由は以下の例と本質的に同値である．

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　一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝３ｋ^2−３ｋ＋１＝３（ｋ−１／２）^2＋１／４

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／４　　（４等分）

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝７　　　　（７等分）

となる．

　０＜ｋ＜１のときはもとの三角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの三角形より大きくなり，ｋ＝２のときには７倍になる．

　同じく，四角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った四角形の面積は，もとの四角形の面積の

　　Ｍ＝２ｋ^2−２ｋ＋１＝２（ｋ−１／２）^2＋１／２

倍になる．０＜ｋ＜１のときはもとの四角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの四角形より大きくなり，ｋ＝３／２のときには５／２倍になる．

　各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの図形の三角形小部分の面積のｋ（ｋ−１）倍になるが，もとの三角形は３重に，もとの四角形は２重に数えられているので，それぞれ，

　　３ｋ（ｋ−１）＋１

　　２ｋ（ｋ−１）＋１

になるというわけである．

　しかし，任意のｎ（≧５）角形では，与えられた図形に数えられない部分が生ずるので，同様の公式は存在しないことになる．

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