練習問題が済んだところで，本題，

［Ｑ］円に内接する五角形や六角形についても同様の公式はあるのだろうか？

に移ってみたい．五角形の場合を扱うが，もちろん，辺は等辺ではない一般の五角形を扱う．

　（その６）でおこなったように，５辺の長さをＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＣＤ＝ｃ，ＤＥ＝ｄ，ＥＡ＝ｅ，ＡＣ＝ｘ，ＡＤ＝ｙ，∠ＡＢＣ＝θ，∠ＡＤＣ＝π−θとおく．

（その６）では余弦定理を用いたが，余弦定理よりもトレミーの定理

　　「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和＝対角線の積

　　　　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ」

を活用した方が簡単かもしれないが，いまのところわからない．

　あとは，ヘロンの公式Ｓ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，また，四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2　　（ｄ＝０のときヘロンの公式になる）を利用する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Ｓ＝Ｓ1＋Ｓ2

　　Ｓ1＝（ｓ1（ｓ1−ａ）（ｓ1−ｂ）（ｓ1−ｘ））^1/2，ｓ1＝（ａ＋ｂ＋ｘ）／２

＝１／４（（（ａ＋ｂ）^2−ｘ^2）（ｘ^2−（ａ−ｂ）^2））^1/2

　　Ｓ2＝（（ｓ2−ｃ）（ｓ2−ｄ）（ｓ2−ｅ）（ｓ2−ｘ））^1/2，ｓ2＝（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｘ）／２

＝１／４（（（ｄ＋ｅ）^2−（ｘ−ｃ）^2）（（ｘ＋ｃ）^2−（ｄ−ｅ）^2））^1/2

　余弦定理より

　　ｘ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓθ

＝ｙ^2＋ｃ^2−２ｙｃｃｏｓ（π−θ）＝ｙ^2＋ｃ^2＋２ｙｃｃｏｓθ

　ｃｏｓθを消去すると

→ｘ^2＝｛（ａ^2＋ｂ^2）ｃｙ＋（ｙ^2＋ｃ^2）ａｂ／（ａｂ＋ｃｙ）

　同様に，

→ｙ^2＝｛（ｘ^2＋ｃ^2）ｄｅ＋（ｄ^2＋ｅ^2）ｃｘ／（ｃｘ＋ｄｅ）

　この２式からｙを消去すると，ｙについての７次方程式が得られるが，ａ＝ｂとすると２重根ｘ＝０を与える．しかし，ｘ＝０は対角線の長さではないから，ａ＝ｂとして次数を５次方程式に下げることができる．

　　ｃｄｅｘ^5＋（ｃ^2ｄ^2＋ｄ^2ｅ^2＋ｅ^2ｃ^2−ａ^4）ｘ^4＋ｃｄｅ（ｃ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−４ａ^2）ｘ^3＋（ｃ^2ｄ^2ｅ^2（ｃ^2＋ｄ^2＋ｅ^2）−４ａ^2（ｃ^2ｄ^2＋ｄ^2ｅ^2））ｘ^2＋４ａ^2ｃｄｅ（２ａ^2−ｃ^2−ｄ^2−ｅ^2）ｘ＋ａ^2（４ａ^2（ｃ^2ｄ^2＋ｄ^2ｅ^2＋ｅ^2ｃ^2）−４ｃ^2ｄ^2ｅ^2−ａ^2（ｃ^2＋ｄ^2＋ｅ^2）^2）＝０

　また，Ｓ＝Ｓ1＋Ｓ2→Ｓ^2＋Ｓ1^2−Ｓ2^2＝２ＳＳ1は

　　２（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2−ｄ^2−ｅ^2）ｘ^2−８ｃｄｅｘ＋１６Ｓ^2−（ａ^4＋ｂ^4−ｃ^4−ｄ^4−ｅ^4）＋２（ａ^2ｂ^2−ｃ^2ｄ^2−ｄ^2ｅ^2−ｅ^2ｃ^2）＝８Ｓ｛−ｘ^4＋２（ａ^2＋ｂ^2）ｘ^2−（ａ^2−ｂ^2）^2｝^1/2

　これをさらに平方した式をＳについてみると，Ｓはｘについての４次方程式，また，外接円の半径をＲとすると

　　Ｓ1＝ａｂｘ／４Ｒ

より，ＳはＲについての２次方程式となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝