［１］ｎ＝９のとき

　余弦定理よりもトレミーの定理

　　「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和＝対角線の積

　　　　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ」

を活用した方が簡単と思います．正７角形も同様と思いますが，正９角形は次の通り簡単にできます．

　３つとびの対角線ｚは円に内接する正三角形の１辺に等しいのでｚ＝√３．ｘ^2ｙ^2ｚ^2ｗ^2＝９から，ｘｙｗ＝√３・・・(1)

２ｘ^2＋２ｙ^2＋２ｚ^2＋２ｗ^2＝１８から，ｘ^2＋ｙ^2＋ｗ^2＝６・・・(2)

　トレミーの定理から多数の（独立でない）条件式がでるが，Ｐ1Ｐ2Ｐ4Ｐ5という内接四角形より，ｘ^2＋ｙｗ＝ｚ^2＝３・・・(3)

(1)を代入してｘ^2＋√３／ｘ＝３，すなわち

　　ｘ^3−３ｘ＋√３＝０

がでます．これは有理数の範囲で因数分解できず，２次方程式に帰着されないので、定規とコンパスで作図できません．

　なお，ｘ＝２ｓｉｎπ／９＝０．６８４０４０２８６・・・が，ｘ^3−３ｘ＋√３＝０の解であることを確かめました．トレミーの定理から他にも

　　ｘｚ＋ｘ^2＝ｙ^2，ｙ^2＋ｙｚ＝ｗ^2，ｘｙ＋ｘｗ＝ｙｚ＝√３ｙ

などがでますのでｙ，ｗもいろいろ表現できると思います．

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［２］ｎ＝７のとき

　基本等式：ｘｙｚ＝√７，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝７

　トレミーの定理から（独立ではないが）

　　ｘ^2＋ｘｚ＝ｙ^2　→　ｘ^2＋√７／ｙ＝ｙ^2

　　ｘ^2＋ｙｚ＝ｚ^2

　　ｙ^2＋ｘｙ＝ｚ^2

　　ｘｙ＋ｘｚ＝ｙｚ　→　これから有名な等式：１／ｘ＝１／ｙ＋１／ｚがでる．

　トレミーの定理の和から，

　　３ｘ^2＋ｘｚ＋ｙｚ＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝７

　　７＝３ｘ^2＋√７（１／ｘ＋１／ｙ）＝２ｘ^2＋ｙ^2＋√７／ｘ

これから，

　　ｙ^2＝７−２ｘ^2−√７／ｘと√７−３ｘ^2／√７−１／ｘ＝１／ｙ

を作れば，積からｘだけの式

　　（７−２ｘ^2−√７／ｘ）（√７−３ｘ^2／√７−１／ｘ）^2＝１

を得る．これはｘの９次方程式になる．

　別の考え方として，

　　ｘ^2＝ｙ^2−√７／ｙと７＝３ｘ^2＋√７（１／ｘ＋１／ｙ）＝３ｙ^2−２√７／ｙ＋√７／ｘ

からｘを消去して，

　　（ｙ^2−√７／ｙ）（（√７−３ｙ^2／√７−２／ｙ）^2＝１

というｙの方程式もできる．これもｙの９次方程式．

　もうひとつ別の考え方．ｘ^2＋ｙ^2＝７−ｚ^2，２ｘｙ＝２√７／ｚから

　　（ｙ−ｘ）^2＝ｘ^2＋ｙ^2−２ｘｙ＝７−ｚ^2−２√７／ｚ

一方，トレミーの式の差で

　　ｙｚ−ｘｚ＝ｚ^2−ｙ^2＝ｘｙ＝√７／ｚ

　　ｙ−ｚ＝√７／ｚ^2　　　（１／ｘ＝１／ｙ＋１／ｚからもでる）

これから，

　　７−ｚ^2−２√７／ｚ＝７／ｚ^4となって，ｚの６次方程式

　　ｚ^6−７ｚ^4＋２√７ｚ^3＋７＝０

を得る．

　最終的にｘ，ｙ，ｚは３次方程式に還元されることが予測される．上記の６次方程式はガロア群が可解でない（？）．ともかく２次方程式では解けそうもないが「解けない」ことを厳密に示すにもう一工夫いる．

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