ガロアは方程式が代数的に解けるがどうかは、根の置換群の構造を見ればわかるということを明らかにした。

ではガロアが見つけ出した構造とはどのようなものだったのか？

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x^3=2の場合

基礎体K=Q(ω）

ガロア拡大体E=K(3√2，3√2ω,3√2ω^2)=K(3√2)=K(3√2ω)=K(3√2ω^2)

ガロア群は3√2，3√2ω,3√2ω^2を置き換える置換で、{ε,σ,σ^2}となる

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x^5=2の場合

基礎体K=Q(ζ）

ガロア拡大体E=K(5√2，5√2ζ,5√2ζ^2，5√2ζ^3,5√2ζ^4)=K(3√2)=K(3√2ζ)=K(3√2ζ^2)=K(3√2ζ^3)=K(3√2ζ^4)

ガロア群は5√2，5√2ζ,5√2ζ^2，5√2ζ^3,5√2ζ^4を置き換える置換で、{ε,σ,σ^2,σ^3,σ^4}となる

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[1]ガロア群の置換は基礎体の元を変えない

[2]ガロア群の置換で変わらない元は基礎体に含まれる。

[3]ガロア群の置換はガロア拡大体の元を変える。しかし演算は保存する。

[4]置換してから演算しても、演算してから置換しても結果は変わらない。

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