■四元数を用いた鏡映と回転(その22)

 非可換な四元数と非可換・非結合的な八元数の数体系が存在する.

 ハミルトンは非可換な四元数を発見したが,これは数の可換性を否定したことから,平行線の公理を否定したロバチェフスキーの非ユークリッド幾何学の発見と並び称される.

 その後,グレーブスやケイリーによって八元数も見出されたが,

  (a1^2+a2^2+・・・+an^2)(b1^2+b2^2+・・・+bn^2)=(c1^2+c2^2+・・・+cn^2)

の恒等式はn=1,2,4,8に対してだけ満たされるという驚くべき結果が19世紀末,フルヴィッツにより証明されている(1898年).

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【1】三元数は存在しないことの証明(1)

  (a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)=c1^2+c2^2+c3^2

において,偶数の2乗は4nの形であり,奇数の2乗は

  (2k+1)^2=4k(k+1)+1=8n+1

の形であるから,3つの2乗和はそれがすべて奇数であれば,4n+1か8n+3のいずれかの形をとる.

 したがって,8n+7という形の奇数は決して3つの2乗和にかけない.すなわち,3元数に対する平方和問題は破綻している. 

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【2】三元数は存在しないことの証明(2)

 三元数を

  (x,y,z)=x+yi+zj

で表す.

  x=(x,0,0),i=(0,1,0),j=(0,0,1)

  i^2=−1=(−1,0,0),j^2=−1=(−1,0,0)

 ここで,

  ij=x+yi+zj

とかけたと仮定する.この式に左からiをかければ

  zx−y+(x+yz)i+(z^2+1)j=0

が得られるが,zは実数であるので不可能.

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【3】十六元数は存在しないことの証明(フルヴィッツの定理)

 もちろん,三元数は存在しないので,六元数も存在しないが,ケイリー・ディクソンの2重化法

  C=R+iR

  H=C+e2C   (複素数の複素化)

を適用して構成される超複素数体系が,八元数

  O=H+e7H   (四元数の複素化)

である.

 しかし,このように倍増を重ねて新しい数体系ができるのは,八元数でストップするというのがフルヴィッツの定理である.この証明では単位元をもつ数体系を仮定するとR,C,H,Oに限るということを主張する.

 これはまた,平方和問題

  (a1^2+a2^2+・・・+an^2)(b1^2+b2^2+・・・+bn^2)=(c1^2+c2^2+・・・+cn^2)

はn=1,2,4,8の場合のみ解をもつことを意味している.

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 四元数qに対して、変換f(x)=qxq^(-1)を考えてきたが、とくに|q|=1のときはq^(-1)=q~となり、

  f(x)=qxq^(-1)=qxq~

となる。

四元数を用いた回転は

f(x)=axa~

kik~=-kik=-jk=-i・・・xy平面上の180度回転

n=(n1,n2,n3)=n1i+n2j+n3k,n1^2+n2^2+n3^3=1

q=cos(θ/2)+nsin(θ/2)

|q|=cos^2(θ/2)+(n1^2+n2^2+n3^2)sin^2(θ/2)=cos^2(θ/2)+sin^2(θ/2)=1

nの周りにθ回転させる操作はqxq~で与えられる。

[1]xy平面に関する回転:q=cos(θ/2)+ksin(θ/2)

[2]yz平面に関する回転:q=cos(θ/2)+isin(θ/2)

[3]xz平面に関する回転:q=cos(θ/2)+jsin(θ/2)

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オイラーの公式exp(iθ)=cosθ+isinθ

を四元数の場合に一般化することを考えます。

Φ=(θ^2+φ^2+ψ^2)^1/2とおくと

exp(iθ+jφ+kψ)=cosΦ+(iθ+jφ+kψ)/ΦsinΦ

n=1/Φ・(θ,φ,ψ)としたとき、2Φ回転を表していることが分かります。

四元数では

  f(x)=qxq^(-1)=qxq~

のようにqで挟んで回転させるため2Φ回転となるのである。

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