四元数qに対して、変換f(x)=qxq^(-1)を考えてきたが、とくに|q|=1のときはq^(-1)=q~となり、

　　f(x)=qxq^(-1)=qxq~

となる。

四元数を用いた回転は

f(x)=axa~

kik~=-kik=-jk=-i・・・ｘｙ平面上の180度回転

n=(n1,n2,n3)=n1i+n2j+n3k,n1^2+n2^2+n3^3=1

q=cos(θ/2)+nsin(θ/2)

|q|=cos^2(θ/2)+(n1^2+n2^2+n3^2)sin^2(θ/2)=cos^2(θ/2)+sin^2(θ/2)=1

nの周りにθ回転させる操作はqxq~で与えられる。

[1]xy平面に関する回転：q=cos(θ/2)+ksin(θ/2)

[2]yz平面に関する回転：q=cos(θ/2)+isin(θ/2)

[3]xz平面に関する回転：q=cos(θ/2)+jsin(θ/2)

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オイラーの公式exp(iθ)=cosθ+isinθ

を四元数の場合に一般化することを考えます。

Φ=(θ^2+φ^2+ψ^2)^1/2とおくと

exp(iθ+jφ+kψ)=cosΦ+(iθ+jφ+kψ)/ΦsinΦ

n=1/Φ・(θ,φ,ψ)としたとき、2Φ回転を表していることが分かります。

四元数では

　　f(x)=qxq^(-1)=qxq~

のようにｑで挟んで回転させるため2Φ回転となるのである。

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