■四元数を用いた鏡映と回転(その19)

 四元数と外積との関係

  x=x0+x1i+x2j+x3k,y=y0+y1i+y2j+y3k

  x~=x1i+x2j+x3k,y~=y1i+y2j+y3k

  |x|^2|y|^2=<x~,y~>^2+|−x0y~+y0x~−(x~×y)|^2

を使って,コーシー・ラグランジュの恒等式を導出することができる.

[a](x0^2+x1^2+x2^2+x3^2)(y0^2+y1^2+y2^2+y3^2)

=(x0y0+x1y1+x2y2+x3y3)^2

+(x0y1−x1y0)^2+(x0y2−x2y0)^2+(x0y3−x3y0)^2

+(x2y3−x3y2)^2+(x3y1−x1y3)^2+(x1y2−x2y1)^2

[b](x1^2+x2^2+x3^2)(y1^2+y2^2+y3^2)

=(x1y1+x2y2+x3y3)^2

+(x2y3−x3y2)^2+(x3y1−x1y3)^2+(x1y2−x2y1)^2

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 コーシー・シュワルツの不等式とは,

[a](x0^2+x1^2+x2^2+x3^2)(y0^2+y1^2+y2^2+y3^2)

≧(x0y0+x1y1+x2y2+x3y3)^2

[b](x1^2+x2^2+x3^2)(y1^2+y2^2+y3^2)

≧(x1y1+x2y2+x3y3)^2

というものである.

 ところで,高校では,相加平均・相乗平均不等式に関連して,

[1]a^2+b^2−2ab=(a−b)^2≧0

[2]a^3+b^3+c^3−3abc

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−bc−ca)

=(a+b+c)・1/2{(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2}

≧0

を習ったが,[1]はともかく[2]の

a^3+b^3+c^3−3abc

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−bc−ca)

については,すっかり忘れ去られた方も少なくないと思う.

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[1]a^2+b^2−2ab

は対称式であるから,基本対称式a+b,abを使って表すことができる.

 2次対称式であるから

  a^2+b^2−2ab=C(a+b)^2+Dab

で表せるが,恒等式であるから(a,b)=(1,1),(1,0)を代入してみると

  0=4C+D,1=C→C=1,D=−4

  a^2+b^2−2ab=(a+b)^2−4ab

[2]a^3+b^3+c^3−3abc

も対称式であるから,基本対称式a+b+c,ab+bc+ca,abcを使って表すことができる.

 3次対称式であるから

  a^3+b^3+c^3−3abc=D(a+b+c)^3+E(a+b+c)(ab+bc+ca)+Fabc

で表せるが,恒等式であるから(a,b,c)=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)を代入してみると

  0=27D+9E+F,2=8D+2E,1=D→D=1,E=−3,F=0

  a^3+b^3+c^3−3abc=(a+b+c)^3−3(a+b+c)(ab+bc+ca)

=(a+b+c){(a+b+c)^2−3(ab+bc+ca)}

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−bc−ca)

が得られる.

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